Какая организация имеет право направлять граждан на освидетельствование ?

В соответствии с «Правилами признания лица инвалидом», утвержденными постановлением Правительства Российской Федерации от 20.02.2006 № 95 (Правила), гражданин может направляться на медико-социальную экспертизу (МСЭ) организацией, оказывающей лечебно-профилактическую помощь, независимо от ее организационно-правовой формы, либо органом, осуществляющим пенсионное обеспечение, либо органом социальной защиты населения.

В случае, если эти организации отказывают в оформлении направления на медико-социальную экспертизу, они должны выдается справку об отказе, на основании которой гражданин (либо законный представитель) имеет право обратиться в бюро самостоятельно с представлением имеющихся медицинских документов.

На практике чаще всего (обычно) направление на МСЭ по форме 088/у оформляет поликлиника по месту жительства (или месту пребывания) больного.
Местом жительства считается адрес постоянной регистрации (прописки).
Местом пребывания считается адрес временной регистрации (прописки).

Порядок оформления документов для прохождения МСЭ (включая и алгоритм действий при отказе лечащих врачей направлять вас на МСЭ) достаточно подробно расписан в этом разделе форума: Оформление инвалидности простым языком.